Une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3

Énoncé

1. Calculer $4n+3$ pour $n$ compris entre $0$ et $20$ .

On veut montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4n+3$ , c'est-à-dire une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ .

Pour cela, on raisonne par l'absurde, et on suppose qu'il en existe un nombre fini :
\(3 où les  $p_i$  sont des    nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ .

On pose  $N=4p_1{p}_2...p_k+3$ .

2. Soit $q$ un nombre premier divisant $N$ .
    a. Montrer que $q$ est impair. En déduire les entiers possibles congrus à $q$ modulo $4$ .
    b. Montrer que $q\equiv 1[4]$ .

3. En étudiant les congruences de $N$ modulo $4$ , aboutir à une contradiction et conclure.